معماری
خانه / مطالب وبلاگ سایت / رياضيات چیست؟
فرادرس

رياضيات چیست؟

فصل اول :

رياضيات

 

همواره يكي از علوم فعال و زنده بوده است كه براساس منطق استوار مي باشد .پايگاه معرفت رياضي خرد محض است و بر محور احساسات و خواسته ها نمي گردد .ميزاني كه با آن انديشه هاي رياضي را مي سنجيم مستقل از آن انديشه هاست .

نتايج همگي بر مبناي قوانين و انديشه هاي كه بر حسب معيارهاي قانوني رياضيات ثابت شده است .رياضيات همچنين نمادي از تلاش بي پايان انسانها براي كسب دانش و آگاهي است .

دانش رياضي محصول كوشش انسانها و ملل گوناگون در زمانهاي مختلف است كه فراتر از زمان و قالبهاي فرهنگي و اقليمي به منصه بروز و ظهور رسيده است .هدف اين تلاش ، فعليت يافتن گوهر وجودي انسان و پيشبرد معرفت و كمال بشري و گشوده شدن دروازه هايي از ارتباط ميان انديشه ها ، فرهنگها و تمدن هابوده است .

اكنون به جواب سؤال مطرح شده از زبان دكتر مصاحب مي پردازيم :

جواب اين سؤال در زمانهاي مختلف و بر حسب بسط رياضيات و بسط فكر رياضي متفاوت بوده است .زماني رياضيات را علم اعداد  ،زماني علم فضا و زماني علم كميات متصل و منفصل تعريف مي كردند .اين تعريف اخير كه شايد بيش از يك قرن تا حدي قابل قبول بود و هنوز در بعضي اذهان باقي است .

اما طرز فكر كنوني را مي توان از اين گفته يكي از محققين معاصر دريافت :

((در بابي علم فيزيك ، آشكار شده كه ضرورت ندارد كه ما ماهيت موجودات مورد بحث را بشناسيم بلكه آنچه ضروري است شناخت ساختمان رياضي آنهاست .در حقيقت تنها چيزي كه مي شناسيم همين است ))

نفس رياضيات در هر مبحث علمي ، خواه در علم اقتصاد يا در علم نجوم ، همين شناسانيدن  ساختمان رياضي است .اينك بد نيست به گفتاري از پرفسور فضل الله رضا در باب رياضي نو بپردازيم :

در علوم رياضي نو هم بخلاف رياضيات قرون پيش ، زيبايي ها كم يا بيش با معيار فربهي خيال و گسترش پرواز سنجيده مي شود .وقتي به يكي از امراي علم دوست اسلامي قضيه فيثاغورث را عرضه كردند كه مجذور طول وتر مثلث قائم الزاويه برابر مجموع مجذورات طول دو ضلع ديگر است .

 

 معروف است كه وي چنان از زيبايي  اين حقيقت جهاني سرمست شده كه دستور داد شكل مثلث را بر روي آستين وي نقش كنند .

A2+b2=c2

اين قضيه در قرن بيستم مانند شعرهاي نابي كه گويندگان بزرگ ايران قرنها پيش آفريده اند از زواياي تنگ مثلث بيرون آمده و به فضاهاي بسيار گسترده كه در علم و صنعت عموميت دارند تعميم داده شد.تعميم اين قضيه در فضاهاي هيلبرت كه به نام رياضيدان بزرگ آلماني قرن نوزدهم معرفي شده است  چنان است كه براي هر X  از فضاي هيلبرت و تصاوير بر محورهاي پايه مختصات چنين مي توان نوشت :  

X=x k  e k =(  x,e)e k   

=

 

هرچند تشخيص معيار از پي زيبا شناسي كار دشواري است با از نظر بحث درمجردات مي توان گفت كه زيبايي اين قضيه پهناور بيش از زيبايي قضيه محدود فيثاغورث است .در اينجا هماي  خيال بالاتر پرواز كرده مثلث قائم الزاويه  معمولي فضاي دوبعدي اقليدسي ، جاي خود را در فضايي به ابعاد بي شمار به شكلي داده است كه ديگر تصوير ساده در ذهن ما ندارد ، و بر آستين كسي نقش پذير نيست .

اينجاست  كه ديگر هر كه خيالش فربه تر  است آن نقش را بهتر درمي يابد .بيش از دو هزار سال طول كشيد تا قضيه  فيثاغورث در آغاز قرن بيستم به اوج زيبايي  خود رسيد و قضيه هيلبرت بدست آمد .

بنيان معرفت حقيقي و هنر محض هر دو در عالم مجردات نقش مي بندد  .تماس و برخورد با محسوسات گاهي ممكن  و مقدور است اما همه گاه ضرورت ندارد . چنانكه مساحان براي تحديد باغ و خانه ، مثلثهارا با رسن  و دوربين  مشخص مي كنند  ولي  در فضاهاي هزار بعدي اين رسن ها و دوربين ها ديگر بكار نمي آيند .

آنجا كار محسوس وملموس پيچيده تر و خيال آلوده تر است . به هر تقدير در دفتر زيبا شناسي پرواز مرغ فكر را ناديده نبايد گرفت  .

امروز برداشت اهل فن از رياضيات ،با برداشت عام تفاوت دارد .كار ضرب و تقسيم و عمليلت جبري را ماشينهاي حساب به خوبي انجام مي دهند .رياضيدان بيشتر با مجردات سروكار دارد، عالمي خيال انگيز مي آفريند و درآن عالم موجودات را به جان  هم مي اندازد تركيبات نو خلق     مي كند واز ديدگاههاي مختلف به مسائل مي نگرد.

 

فصل دوم :

 

 

 

يافتن معادله اي رياضي كه 

بر جهان

حكمفرما است !

 

آيا رياضيدانان خواهند توانست جهان را با حداقل جزئياتش توصيف كنند ؟ اين كار درزمان كپلر و گاليله ساده به نظر مي رسيد . ولي ببينيم  معادله نهايي حاكم بر طبيعت به چه شبيه است ؟

در ماه اوت سال 1609 ميلادي در پراگ ، اختر فيزيك دان آلماني  (( يوهانس كپلر))  دو معادله جهاني ارائه داد .او شكلهاي هندسي كه سيارات در آسمان طي مي كنند را تشخيص داد .

اين شكلها بصورت بيضي هايي بودند كه مسير هاي ستارگان را بصورت رياضي توسط تنها يك به دست مي داد. در اوت 1609، در پادو ( Padoue) جمهوري ونيز گاليله ساخت دوربين نجومي اش را تمام كرد ، حركت ستارگان را بهتر از هركسي در جهان مشاهده نمود .

او پس از سالها مطالعه بيان داشت كه :

(( ويژگيهاي كتاب طبيعت ، همان مثلثها ، مربعها ، دواير ، كرات ، مخروطها واشكال هندسي ديگر مي باشند )).

وبه اين طريق لزوم يك توصيف رياضي يگانه كننده از اين شكلها ارائه شد .در 1686 نيوتن توانست معادله اي  من  ارائه دهند كه بتوانند.كه بتواند ارائه دهد كه بتواند حركت يك سياره در آسمان و سقوط يك سيب از درخت را در يك فرمول بيان كند .

در 1915آلبرت انشتين نظريه نسبيت عام خود را ارائه داد وسپس معادلات مكانيك كوانتومي ارائه شدند .در واقع  وقتي  جهان را بتوان   فقط  با يك فرمول توصيف كرد كه قادر باشد مشاهدات ممكن را توضيح دهد ، آن وقت به انتهاي رياضي و فيزيك خواهيم رسيد (( استقلال هاوكينگ )) جانشين كنوني نيوتن بر كرسي رياضيات دانشگاه كمبريج ، در 1980 معتقد بود كه اين ((تئوري همه چيز )) قبل از پايان قرن اخير نوشته خواهد شد .اما  او اشتباه مي كرد ، هنوز اين  تئوري به ثمر نرسيده است  . بعداز بيش از بيست سال كانديداي منتخب به صورت  (( تئوري ريسمانها يا ابر ريسمانها )) باقي مي ماند كه فرض مي كرد اجسام بنيادي  بصورت ذره نباشند بلكه بصورت  ريسمانهاي كوچكي باشند كه نوساني دائمي دارند .اما اختراع  ابزار رياضي كه بتواند اين تكه ريسمانها را مرسوم كند باقي ماند.

اكنون استفان هاوكينگ معتقد است كه اين معادله رياضي جهان در كمتر از ده سال آينده  نوشته خواهد شد .

آيا مي توان اميدوار بود كه كتاب بزرگ طبيعت فقط به يك سطر تقليل يابد ؟

به طور نظري جواب مثبت است :

حل اين معادله براي هر ريسماني مي تواند رفتار كل هر جسم را توضيع دهد اما در عمل اين كتب قابل استفاده نيست .براي مطالعه بدن انسان كه متشكل از 10 به توان 100 ريسمان است در واقع بايد اين معادله را حل كرد كه غير ممكن است .

از اين پيچيدگي يك يك تشكيل اوليه مشتق مي شود كه اين كتاب بزرگ بايد توصيف آن را شامل شود .جهاني كه به يك سطر متكي باشد فقط مي تواند آشي از ريسمانهاي غير منظم يكنواخت باشد .

اين آش بي نهايت محتوي دارد ولذا كتاب طبيعت را غول پيكر خواهد كرد تا بتواند تمام اشكال و پديده ها را   از نظر ژنتيك گرفته تا اقتصاد در بر داشته باشد .پس در حالي كه به يافتن يك معادله نهايي در آينده چنين  نزديكي نويد داده مي شود .آيا بطور ناگهاني در خارج از محدوده كوششهاي ما در رسمي كردن آن نمي انجامد .؟

متذكر مي شويم كه علي رغم تنوع مختلف در دانه هاي برف ، كلم ، سيب ، رعد وبرق و غيره  هر يك وجه مشترك و ناوردايي دارند ، يعني همگي ساختاري مثل يك درخت دارند ، با يك تنه مركزي كه به شاخه ها وسپس به برگها ختم مي شوند .

رياضي دان فرانسوي (( Benoit  Mandeibort  )) توانسته است  يك ناورداي پنهان را از اين تنوع مختلف استخراج كند :

(( هر كدام از اجسام صرفه نظر كه به آن نگاه مي كنيم شكل يكساني را حفظ       مي كنند ))

در واقع مي توان شاخه رابعنوان شاخه را به عنوان يك درخت مينيا توري  مجسم كرد . معادله ((مندلبروت )) تعبير  رياضي اين پديده  است .(( فراكتالهاي )) آن مي توانند گل كلم و دانه هاي برق را يگانه كرده  ويك ابزار قدرتمند براي آناليز آن بسازند .

روبرت هوكفلد و ناتان  كوهن (Rober  Hokfeld  . Natan  cohen)  دو رياضيدان آمريكايي نشان  داده اند كه آنتنهاي راديو يا راديو هاي قابل حمل داراي يك شكل فذاكتالي مي باشند .

نيمه كمتر بزرگتر آن ، نوار فركانس بزرگتر را با دقت بيشتر دريافت مي كند . جهان ما نيز            مي تواند  اين شكل شاخه شاخه شدني (انشعابي ) را تا بي نهايت داشته باشد . بنايراين  فراكتالها به مثلثها ، مربعها ، دواير ، كرات ، مخروطي و شكلهاي هندسي  ديگري  اضافه مي شوند تا بيان گاليله اي از طبيعت راكامل  كنند و پديده هاي انشعاب يافته را به حساب آورند .

توجه كنيد :

ساختار يك دانه  برف يك فراكتال است و اين شكل محض مملو از اسرار طبيعت  است كه شكلهاي هندسي مختلف را تشكيل  مي دهد .فراكتالها فقط با يك معادله مي توانند دانه برف ، گل كلم ، رعد وبرق و ساحل دريا را وحدت بخشند

 

 

فصل سوم

 

 

حساب ديفرانسيل

و

انتگرال چيست ؟

 

( بر گرفته از جلد دوم حساب

ديفرانسيل و انتگرال توماس )

 

 

حساب ديفرانسيل وانتگرال رياضيات مربوط به حركت و تغيير است .هر جا حركت يا رشدي هست ، هر جا نيروهاي متغيري در كار توليد شتاب اند ، حساب ديفرانسيل و انتگرال درست همان رياضياتي است كه بكار مي آيد .

اين امر در آغاز پيدايش اين مبحث صادق بود ، و امروز نيز چنين است .حساب ديفرانسيل وانتگرال در آغاز براي برآورد ه كردن نيازهاي دانشمندان قرن هفتم ابداع شد .حساب ديفرلنسيل با مسآله محاسبه آهنگهاي تغيير سرو كارداشت و به دانشمندان امكان مي داد شيب خم ها را تعريف كنند ، سرعت و شتاب اجسام متحرك را محاسبه كنند ، زاويه آتش باري توپ را برا ي حصول بيشترين برد بدست آوردند ، و زمانهايي را كه سيارات نزديكترين و دورترين فاصله را ازهم دارند ، پيش بيني كنند .

حساب انتگرال به مسآله تعيين تابع براساس اطلاع از آهنگ تغييرش مي پرداخت و اين امكان را فراهم مي كرد كه مكان آتي يك جسم را با توجه به مكان فعلي اش و نيروهاي موثر برآن محاسبه كنند ، مسحت نواحي نامنظم واقع در صفحه را بيابند ، طول خمها را اندازه بگيرند و محل مركز جرم هر جسم دلخواه را بدست آورند .

پيش از پيشرفتهاي رياضي كه به كشف بزرگ ايزك نيوتن (1642- 1727) و بارون گوتفريد ويليهم لايب نيتس (1646-1716) انجاميد ، يوهانس كپلر منجم (1571-1630) با 20سال تفكر ، ثبت اطلاعات ، و انجام محاسبات ، سه قانون حركت سيارات را كه اكنون به نام او معرفند ، كشف كرد : هر سياره در مداري بيضي شكل حركت مي كنند كه يك كانونش در خورشيد قراردارد .

بردار شعاعي ( يعني خط واصل بين خورشيد و سياره ) درمدت هاي مساوي مساحات  مساوي را مي روبد .مربع مدت گردش هر سياره به دور خورشيد متناسب است با مكعب فاصله نتوسط آن سياره از خورشيد (اگر T    مدت گردش سياره به دور خورشيد  و D   فاصله متوسط باشد ، نسبت D3 / T2   براي تمام سياره هاي منظومه شمسي ثابت است .)

استنتاج قوانين كپلر از قوانين حركت نيوتن با استفاده از حساب ديفرانسيل و انتگرال كار ساده اي است .

امروز حساب ديفرانسيل و انتگرال و تعميمهاي آن در آناليز رياضي قلمرو واقعاً گسترده اي دارند و فيزيكدانان ، رياضيدانان ، و منجماني كه اول با اين موضوع را ابداع كردند مسلماً شگفت زده و شادمان مي شوند اگر مي ديدند كه اين موضوع چه انبوهي از مسائل را حل مي كند و چه رشته هاي متنو عي آن را براي مدلسازي رياضي بكار مي بردند و به فهم عالم و دنياي پيرامون ما كمك  مي كنند.

اميدواريم شماهم دراين شگفت زدگي و لذت سهيم باشيد .اقتصاددانان از حساب ديفرانسيل و انتگرال براي پيش بيني گرايش هاي كلي اقتصادي استفاده مي كنند .اقيانوس شناسان از اين حساب براي فرمول بندي نظريه هايي در باره جريانهاي دريايي بهره مي گيرنذ و هواشناسان آن را براي توصيف جريان هواي جو بكار مي گيرند .زيست شناسان به كمك حساب ديفرانسيل و انتگرال ميزان جمعيت را پيش بيني مي كنند و تاثير جانوران شكار گر مانند روباه با بر جمعيت جانوران شكار شونده تشريح مي كنند .

پژوهشگران براي بازبيني اندامهاي داخلي بدن طراحي ميكنند و دانشمندان علوم فضائي آن را براي طراحي موشكها و كشف سياره هاي دور دست بكار مي گيرند . روانشناسان از حسا ب ديفرانسيل و انتگرال براي درك توهمات بصري استفاده مي كنند و فيزيكدانان آن را براي طراحي سيستمهاي ناو بري لخت و مطالعه ماهيت زمان و عالم بكار مي برند .مهندسان هيدروليك به كمك حساب ديفرانسيل و انتگرال الگوهاي مطمئني براي آب بندي شيرها در خطوط لوله مي يابند ومهندسان برق با بكارگيري آن تجهيزات  استروبوسكوپي را طراحي و معادلات ديفرانسيلي را كه توصيف كننده جريان الكتريكي در كامپيوترها هستند ، حل مي كنند .

توليد كنندگان وسايل ورزشي براي طراحي راكتهاي تنيس وبيس بال و تحليل گران بازار سهام براي پيش بيني قيمتها و ارزيابي مخاطره نرخ بهره اين حساب را بكار مي گيرند و فيزيو لوژيست ها با استفاده از آن تكانه ها ( ايمپا لسها ) ي الكتريكي را در نورنهاي دستگاه عصبي انسان توصيف مي كنند .

شركتهاي دارويي براي تعيين ميزان مناسب موجود ي دارو ، وتوليد كنندگان الوار براي تعيين مناسب ترين زمان قطع درختان ، به كمك اين حساب نيازمندند .اين فهرست عملاً بي پايان است زيرا امروز حساب ديفرانسيل و انتگرال تقريباً درهر زمينه و حرفه اي به طريقي بكار مي رود .

حساب ديفرانسيل و انتگرالي كه امروز بكار مي بريم از نظر تاريخي حاصل تلاسهاي افراد بسياري است .

ريشه هاي اين حساب را تا هندسه كلاسيك يوناني مي توان ارزيابي كرد ولي ابداع آن عمدتاً كار دانشمندان قرن هفتم است از ميان اين دانشمندان مي توان رنه دكارت ( 1596-1650 ) بوناونتورا كاواليري ( 1589-1647 ) پير دو فرما ( 1601- 1665 ) جان واليس ( 1616- 1703 ) وجيمز گرگوري ( 1638- 1675) را نام برد .

اين كار با ابداعات بزرگ نيوتن ولايب نيتس به اوج خود رسيد ، آنان پيشگام بودند. پيشرفت حساب ديفرانسيل و انتگرال در طي قرن بعد با سرعت زيادي ادامه يافت و هرروز كاربردهاي جديدي براي آن در هندسه ، مكانيك ، مهندسي و نجوم پيدا        مي شد .

در زمره مهمترين افرادي كه در اين زمينه سهم داشتند چندين نسل از برنوليها مخصوصاً يا كوب برنولي ( 1654- 1705) و برادرش يوهان برنولي ( 1677- 1748 ) بودند ( خانواده برنولي همان نقشي را در رياضيات داشتند كه خانواده باخ در موسيقي ) همچنين بايد از لئونهارد اولير (1707-1783 ) كه با قدرت ابداع خارق العاده اش چهره اصلي رياضيات در قرن هيجده ام بود ، ياد كرد و نيز از ژرف لوئي لا گرانژ ( 1736- 1813 ) و آدري ماري لژاندر ( 1752 –1833 ) و بسياري ديگر .

تكميل ساختار منطقي روشهاي حساب ديفرانسيل و انتگرال را رياضيدانان قرن نوزدهم از جمله برن هارد بو لتسانو ( 1781- 1848 ) ، آگوستين لوئي كوشي ( 1789- 1857 ) و كارل واير شتراس ( 1815-1897 ) بر عهده گرفتند .

همچنين قرن نوزدهم شاهد دور شديدي از تعميم هاي جالب حساب ديفرانسيل و انتگرال و پيشرفتهاي بزرگ رياضيات در باره اين حساب بود .جان فون نويمان (1903- 1957) يكي از ريا ضيدا نان بزرگ قرن بيستم نوشت :

« حساب ديفرانسيل و انتگرال نخستين دستاورد رياضيات نوين است ودرك اهميت آن كار آساني نيست .به عقيده من اين حساب روشن ترا ز هر مبحث ديگري مرحله آغازي رياضيات نوين را توصيف مي كند ، ونظام آناليز رياضي ، كه توسيع منطقي آن است ، هنوز بزرگترين پيشرفت فني در تفكر دقيق به شمار مي آيد .»

 

فصل چهارم

 

انتگرالهاي خاص

و

روشهاي انتگرالگيري

ويژه

 

 

 

در اين مقاله بر آنيم كه سه هدف زير را تحقيق دهيم :

  • معرفي توابع خاص كه بر حسب انتگرال تعريف شده اند .
  • تشريح حل بعضي انتگرالها ي خاص كه يا دقيقاً از تعريف تبعيت مي كنند يا به نحو يقابل تبديل به آنها مي باشد .
  • دو فرمول انتگرال گيري ويژه

(1) تابع گاما  ( GAMMA FUNCTION   ) :

فرض كنيد        a>0  در اين صورت تابع       را تابع گاما مي نامند .

نكات :

 

( 1-I  ) مي توان ثابت كرد كه به ازاي هر a>0    ،     و به ازاي هر   ، 

(I-2)  مي توان ثابت كردكه   .

( تغيير متغير  x=u2 را به كار برده ، سپس از انتگرال ناسره مهم   استفاده كنيد .

(I-3) بعضي انتگرالهاي ناسره كه اولا دقيقا از شكل تعريف تبعيت مي كنند و ثانيا n طبيعي آنها قابل استخراج است ، به كمك فرمول ( 1-I  ) محاسبه مي شوند.

(I-4)  بعضي انتگرالهاي ناسره كه فقط در نماي تابع نمايي با تعريف فوق اختلاف دارند ، يعني در تابع انتگرالند آنها به جاي  e-2x تابع    e-f(x) ديده مي شود ، با تغيير متغير  u=f(x)  قابل تبديل به فرم اوليه اند .

(I-5) بعضي از انتگرالهاي معين با كرانهاي صفر و يك ، با تغيير متغير  x=e-u  قابل تبديل به فرم اوليه اند .

(II) تابع بتا (BETA FUNCTION) :

فرض كنيد .  m,n>0  ، در اين صورت تابع  را تابع بتا مي نامند .

نكات :

( 1 –II )مي توان ثابت كرد كه

( تعريف   B(m,n) را نوشته ، سپس تغيير متغير x=sin2 را بكار ببريد . )

( 2 – II ) مي توان ثابت كرد كه

 

فصل پنجم

 

شيخ بهايي

و

طرح چند مساله

يكي از هزاران رياضيدانان مسلملن بها الدين عاملي (شيخ بها يي ) است .او در سالهاي (953-1031) مي زيسته و 88 كتاب فارسي و عربي به رشته تحرير در آورده كه كتاب خلاصه حساب وي شهرت جهاني دارد .

كتاب مذكور كتابي است درسي ،در رياضيات مقدماتي كه در حدود دويست سال درايران و تركيه و هندوستان از شهرت فوق العاده اي بر خوردار بوده وبارها به زيور طبع آراسته شده است .اخيراً هم درسال 1976 ميلادي كتابي با عنوان رياضيات بهاالدين عاملي در حلب به چاپ رسيده است .بر خلاصه الحساب شرحهاي متعدد به زبانهاي فارسي و عربي نوشته اند .

شهرت شيخ بهايي بين مورخان رياضي از آن جهت است كه متن عربي و ترجمه آلماني كتاب خلاصه حساب در سال 1843 ميلادي توسط نسلمان (Nesselmann )  در برلين و ترجمه فرانسوي آن توسط اريستيد مار در سال 1846 در فرانسه منتشر شد و درآن موقع كه هنوز دانشمندان مغرب زمين از آثار مهم رياضي دوره اسلامي چنان اطلاعي نداشتند با اين كتاب آشنا شدند .

در مورد شيخ كم لطفيهايي نيز شده است منجمله سوتر گفته در اثر رياضي شيخ بهايي پيشرفت علمي ديده نمي شود ،اولا سخن وي ملاك قضاوت نمي باشد ، ثانياً شيخ با آن همه اشتغال در فقه و اصول و حديث و كلام و رجال و تفسير ورياضيات وحساب و فلسفه وعرفان و صرف و نحو (كه كتاب صمديه وي هنوز در حوزه هاي علميه تدريس مي شود ) وبلاغت ومنطق و هيئت نجوم و اسطرلاب و عبادات و رياضيات شرعيه و ختومات و اوراد مآثوره و تفكرات و تعلقات و خلسات ممتد وتدريس وتربيت شاگردان و گاه اقامه جماعت و ارشاد ومنبع و وعظ و خطابه و رسيدگي به احوال مردم و درماندگان و پيگيري امور مسلمين و درگيري هاي شديد فكري و همچنين با اشتغال به علوم غريبه و تبحر در آنها ، و مشكلات معشيتي با ز به نوشتن اين حجم زياد از تآليفات و مكتوبات توفيق يافته و باتوجه به مطالب معروض اين اثر به نوبه خود شاهكار است واين ترهات و سخنان لغو و بيهوده از كسي صادر مي شود كه تصوير درستي از فعاليت هاي يك عالم روحاني ، رباني ، نمي تواند داشته باشد .

ظاهراً شيخ بهايي مؤلف كتاب حساب ديگري موسوم به بحر الحساب نيز بوده است كه متاسفانه نسخه اي از اين كتاب تا كنون يافت نشده است .

وي سرانجام در سال 1031  در گذشت و بدن مطهر اورا در بارگاه آستان ملك پاسبان امام رضا (ع)دفن نمودند .

 

لطيفه رياضي

 

( ترجمه متن اصلي ): مخرج مشترك كسور تسعه را مي توان از ضرب ايام ماه يعني عدد ((30)) در تعداد ماهها كه ((12)) باشد و ضرب حاصل ضرب آنها يعني ((360))در ايام هفته ((7)) است يا حاصل ضرب كسر هايي كه در آن حرف (ع) وجود دارد بدست آورد و مخرج مشترك كسور

نه گانه :

 ] 10/1 و 9/1و8/1و7/1و6/1و5/1و4/1و3/1و2/1 [  كه عدد ((2520)) باشد مي توان از دو طريق لطيف و بديع ديگري استخراج كرد :

به بيان ديگر : آنكه تعداد روزهاي ماه را كه 30 باشد در تعداد برجها كه 12 باشد ضرب مي كنيم سپس حاصل يعني 360 را در ايام هفته كه 7 باشد ضرب نموده حاصل ، حاصل مخرج مشترك كسور نه گانه مي شود .

به بيان ديگر : آنكه از كسور تسعه آنچه را كه در اسم آن حرف عين وجود دارد در نظر گرفته در يكديگر ضرب مي كنيم و آن چهار كسر ،ربع (4/1) ، سبع (7/1) تسع (6/1) عشر( 10/1)است كه حاصلضرب 2520مي شود .

(متن عربي ) و سئل امير المومنين عليه السلام عن ذلك فقال اضرب ايام اسبوعك في ايام سنتك .

(ترجمه فارسي ) از حضرت امير المومنين (ع) در مورد مخارج كسور نه گانه سئوال شد حضرت فرمود ند :

ايام هفته ات را در ايام سال ضرب كن .

« فاضل جواد » در شرح عبارت فوق گفته :

حضرت امير عليه السلام در حين خطبه خواندن بودند كه مورد سوال قرار گرفتند از اينكه آن كدام عددي است كه مجموع كسور تسعه را داشته باشد و نيز فرهاد ميرزا در كتاب كنز الحساب از كتاب زهرالربيع جزايري نقل مي كند كه شخص يهودي از جانب امام المتقين حضرت علي ابن ابيطالب (ع) از اقل عددي كه مجموع كسور تسعه را داشته باشد سئوال كرد .

حضرت فرمودند : هرگاه بگويم ايمان مي آوري ؟ يهودي قبول كرد حضرت فرمود ند : ايام هفته را در ايام سال ضرب كن (360=30×12) است ضرب كن وآن شخص يهودي به شرف اسلام مشرف شد.

قبل از آنكه قسمتي ديگر از كتاب خلاصه الحساب را مورد كنكاش قرار دهيم توضيح يك مطلب قابل توجه است .در آثار رياضي اسلامي برخي  از اصلاحات همچون نمادهايي استعمال مي شدند كه زمينه را براي وضع جبر علامتي فراهم كرده اند رياضيدانان مسلمان در كتابهاي جبر و مقابله خود « اصل جبر بدان معني بود كه مي توان جمله اي را با تغيير علامت از يك معادله به طرف ديگر منتقل كرد و اصل مقابل يعني آنكه مي توان دو مقدار برابر را از دو طرف معادله حذف كرد».

كلمه «شي» را به جاي مجهول بكار مي بردند .چون اولين ترجمه كتابهاي رياضي اسلامي به زبان اسپانيايي انجام گرفت ، لغت شي را باهمان تلفظ به صورت (XeI ) اختيار كردند كه بعدها خلاصه شد و Xجانشين آن گرديد .

روش امروزي جبر ، روش علامتي است كه وضع آن ويت – رياضيدان فرانسوي و نقطه عطف آن بدست رياضيدانان مسلمان شكل گرفت .

مساله

نيزه اي را در حوضي قرار داده اند به نحوي كه مقدار پنج ذرع ازآن دربيرون آب است ، سپس آن را طوري مائل مي كنيم تا انتهاي آن كه در عين حوض است تكان نخورد فقط بدنه و مقداري كه از آب خارج واقع شده تمايل پيدا كند تا اينكه سرنيزه با سطح آب ملاقات كند .بعد وقتي فاصله بين مطلع نيزه « نقطه اي كه نيزه ازآنجا بيرون شده » و نقطه ملاقات سرآن با سطح آب را اندازه گرفتيم 10 ذرع بود حالا شما معين كنيد مجموع طول نيزه چقدر است .

سطح آب  10

       نيزه قائم  x                    نيزه مايل (x+5)

 

 

 

 

متن برهان را به زبان رياضي قديم

از طريق جبر فرض مي شوذ مقدار غائب ( زيرآب ) شي  X  باشد از طول نيزه كلاً «5+ شي » است و بديهي است كه وقتي نيزه را كج كرديم وتر مثلث قائم الزاويه اي مي شود كه يك ياز ضلعهايش «10» ذرع است و ضلع ديگر به اندازه تكه غائب از نيزه است .

پس مربع كل نيزه يعني 25 بعلاوه مال «مجذور شئي » ]بعلاوه 10شئي ( مال + 10شئي +25 )= (شئي +5) .(شئي +5) [ مساوي است با مربع 10 بعلاوه مربع شئي ( 10× 10×+شئي × شئي ) يعني 100بعلاوه مال طبق شكل عروس ( شكل چهل وهفتم اشكال التآسيس ).

وبعد از اينكه از طرفين دستگاه جبري مشتركات (مفهوم مقابله ) را حذف نموديم با قي مي ماند 10شئي مساوي با هفتاد و پنج و خارج قسمت كه 2/71 با شد مقدار غائب از نيزه است پس طول نيزه« 2/121 » مي شود .چون مربع هر وتر در مثلث قائم الزاويه  مساويست با مجموع مربع در ضلع ديگر پس داريم :

 2=X2+10 2( X+5 )

          (X2+10X+25=X2+100)

10X=75            ,   X=5/7

پس طول نيزه نيز برابر است با :        5/12=5+5/7

البته براي بدست آوردن مطلوب در اين مسئله و نظائرش راههاي ديگري نيز و جود دارد كه با ذكر ادله در كتاب بحرالحساب ذكر شده كه خداي تعالي مارا براي اتمام كتاب موفق فرمايد .

]  پايان گفتار شيخ بهايي در اين مسآله [

در همين مسآله يكي از طروقي كه در آنجا ذكر شد .قاعده حساب خطائين است ، به صورت زير :

طول نيزه در فرض اول : 15

مربع نيزه : 225= 15×15

طول يك ضلع : 10=5-15

مربع يك ضلع : 100=10×10

مربع ضلع ديگر : 100= 10×10                       ، 200= 100+100

خطاء اول : 25= 200-225

طول نيزه در   فرض دوم :  20

مربع نيزه : 400= 20×20

طول يك ضلع :  15= 5-20

مربع يك ضلع : 225= 15×15

مربع ضلع ديگر 100= 10×10                   ، 325= 225-100

خطا ءدوم : 75= 325-400

محفوظ اول : 1125 = 75×15

محفوظ دوم : 500=25×20

تفاضل محفوظين : 625= 500-1125

تفاضل خطائين : 50=25-75

طول نيزه 5/12 = 2/1   12= 50  : 625 .  

 

فصل ششم

 

 

هم ارزي در حد و خطرات آن

 

 

چكيده

تجربيات تدريس درس  رياضي عمومي (1) ، درچندين سال گذشته باعث شد كه بار ديگر مسأله هم ارزي و عواقب آن را با يادآوري مطالب مهم بهمراه مثالهاي مناسبي جمع آوري نمايم .

  • بينهايت كوچكها و خواص اساسي آنها

تعريف 1.1

فرض كنيد  و  آنگاه گوييم f(x) در همسايگي a بينهايت كوچك است .

مثال 1.2 تابع f(x)=(x-1)2  وقتي كه x بسمت  ميل كند ، بينهايت كوچك است .

قضيه 1.4 فرض كنيد f(x)=b+g(x) ؛ بطوريكه b يك عدد و g(x) يك بينهايت كوچك درهمسايگي a باشد در اين صورت 

مثال 1.5 فرض كنيد  . در اين صورت  ،  بطوريكه x بسمت  ميل كند يك بينهايت كوچك است و همچنين  

قضيه 6.1 فرض كني و  . در اين صورت  

قضيه 7.1 حاصلجمع تعداد متناهي تابع بينهايت كوچك درهمسايگي a  ، بينهايت كوچك در همسايگي a هست.

قضيه 8.1 حاصلضرب يك بينهايت كوچك در همسايگي a در يك تابع كراندار ، يك بينهايت كوچك در همسايگي a هست .

قضيه 9.1 فرض كنيد f(x) يك بينهايت كوچك در همسايگي a باشد و   در اين صورت

  1. مقايسه بينهايت كوچكها و شرايط هم ارزي در حد

تعريف 1.2

فرض كنيد f(x) و g(x) بينهايت كوچكهاي هم  مرتبه در همسايگي a باشند و

 

گوييم f(x) و g(x) بينهايت كوچكهاي هم مرتبه در همسايگي a هستند .

مثال 2.2 فرض كنيد f(x)=x و g(x)=sin2x . در اين صورت  در نتيجه f(x) و g(x) بينهايت كوچك هم مرتبه در همسايگي   هستند .

تعريف 3.2

فرض كنيد f(x)  وg(x)  بينهايت كوچك در همسايگي a باشند و    در نتيجه f(x) بينهايت كوچك از مرتبه كمتر از بينهايت كوچك g(x) در همسايگي a است.

مثال 4.2 فرض كنيد f(x)=x و .g(x)=xn در اين صورت  در نتيجه f(x) بينهايت كوچك از مرتبه كوچكتر از بينهايت كوچك g(x) است .

تعريف 5.2

بينهايت كوچك g(x)  در همسايگي a را نسبت به بينهايت كوچك f(x)  در همسايگي اش از مرتبه k نامند ، اگر fk(x) و g(x) بينهايت كوچك هم مرتبه باشند .

مثال 6.2 فرض كنيد f(x)=x و g(x)= x3 . در اين صورت g(x) بينهايت كوچك از مرتبه 3 نبت به بينهايت كوچك f(x) در همسايگي    است زيرا

 

 

تعريف  7.2

فرض كنيf(x) وg(x)  در همسايگي a بينهايت كوچك باشند و   گوييم f(x)  و g(x) د و بينهايت كوچك هم ارز در همسايگي a  هستند مي نويسيم~ .g(x).f(x)

مثال 8.2 فرض كنيد f(x)=x و g(x)= sin x . در اين صورت .sin x ~ x

قضيه 9.2 فرض كنيد f(x) و g(x)  در همسايگي a بينهايت كوچك هم ارز باشند . در اين صورت f(x)-g(x) يك بينهايت كوچك از مرتبه بالاتر از بينهايت كوچكهاي f(x) و g(x)  در همسايگي a  است .

مثال 10.2فرض كنيد f(x)=x  و g(x)=x3+x  در اين  صورت

لذا .f(x)~g(x)

g(x)-f(x)=x3  يك بينهايت كوچك در همسايگي  .  از مرتبه بالاتر از بينهايت كوچكهاي f(x) و g(x) است . زيرا

 

 

و

 

 

تذكر : اگر f(x) و g(x) بينهايت كوچك در همسايگي a باشند و  داراي حد نباشد و يا بسمت  ميل كند ، آنگاه بينهايت كوچكهاي f(x) و f(x) قابل مقايسه نيستند .

مثال 11.2 فرض كنيد f(x)=x و  فرض كنيد f(x) و g(x) در همسايگي .  بينهايت كوچك هستند . ولي

 

موجود نيست . لذا f(x) و g(x) قابل مقايسه نيستند .

قضيه 12.2 مجموع دو بينهايت كوجك از مرتبه مختلف با آنكه مرتبه كمتر دارد معادل است .

قضيه 13.2 اگر دو بينهايت كوچك را به مقادير معادل آنها تبديل كنيم حد نسبت آنها تغيير نمي كند .

 

  1. هم ارزي در حد و خطرات آن

آنچه كه در گفتار و محاسبات اغلب دانشجويان ديده مي شود اين تصور است كه :

در محاسبه حد يك تابع در نقطه a بجاي هر تابع شركت كننده در آن تابع يك تابع هم ارز آن را جايگزين مي كنند .

اين امر با توجه به مسائل متداول طرح شده در تستهاي كنكور و مسائل دبيرستان چون جواب صحيح مي دهد ، لذا ذهن دانش آموزان را از اصل مسأله كه در واقع ارتباط نزديك موضوع هم ارزي يا بسط تيلور و يا مكلورن دارد دور مي سازد . و اساساً سخن از اين دو مهم نمي شود . بدين جهت بجا است كه اصول اوليه هم ارزي كه به نظر من بسي مشكل است ابتدا بطور كامل بيان شود و سپس با آگاهي از بسط تيلور و مكلورن موضوع مطرح شود .

در زير مثالهايي آورده مي شود كه عملاً به تجربه در تدريس درس رياضي عمومي بر من ثابت شده است كه اغلب دانشجويان تابع هم ارز قسمتي از تابع داده شده را جاگذاري مي كنند و بدين جهت جواب درست را نمي توانند محاسبه كنند .

فرض كنيد f(x) و g(x) دو بينهايت كوچك در همسايگي a باشند و  در اين صورت مقدار  ، چه خواهد بود ؟

 

مثال 1.3   را محاسبه كنيد .

حل :

 

اگر با روش متداول دبيرستاني حل كنيم بايستي داشته باشيم :

 x2 + x ~ x ، لذا

 

 

 

مثال 2.3   را محاسبه كنيد .

 

مثال 3.3   را محاسبه كنيد .

 

مثال 4.3  را محاسبه كنيد .

 

مثال 5.3   را محاسبه كنيد .

 

حل : اين مسأله را به دو روش حل خواهيم كرد .

(1) ابتدا بدون استفاده از روش هم ارزي و دستور هوپيتال حل مي كنيم . ابتدا ثابت مي كنيم :

 

ابتدا تغيير متغير y=3x را انجام مي دهيم

 

لذا  در نتيجه

 

اكنون مي توانيم

 

 

را محاسبه مي كنيم :

 

 

حال بسادگي مي توان ديد كه

(2) حال مسأله را به روش هم ارزي و هوپيتال حل مي كنيم .

اگر تابعي كه مي خواهيم حد آن را محاسبه كنيم ساده كنيم خواهيم داشت : 

مي دانيم :

 

مي توان نشان داد كه  و

 

حال بنا به قضيه 13.2 داريم :

 

حال از دستور هوپيتال استفاده مي كنيم :

 

 

لذا

 

مراجع

[1]  Stephan C. Carlson and Jerry M. Metzger. A

Recursively Computed Limit . The College

Mathematical Journal, Vol. 21, No.3, May 1990.

(222-224).

[2]  B.B. Demidovich. Problem in Mathematical

Analysis.

[3]  N. Piskunov Differential and Integral Calculus.

 

فصل هفتم

 

توسيعهاي ساده ميدانها

 

1-  مقدمه

توسيع ميدانها در نظريه گالوا از اهميت بسيار ويژه اي برخوردار است . به طوري كه اغلب محاسباتي را كه در يك ميدان قابل اجرا نيست مي توان در ميدان توسعه يافته آن انجام داد .

فرض كنيد F ميداني دلخواه باشد . در اين صورت E را يك توسيع ميدان از F ناميم ، هر گاه F با زير ميداني از E يكريخت باشد ، يا در حالت خاص F  زير ميداني از E باشد كه آن را با E:F نشان مي دهيم .

به آساني ملاحظه مي شود كه  اگر M زير مجموعه اي از ميدان E باشد ، آنگاه زير ميدان E كه به وسيله M توليد مي شود و شامل F مي باشد يك توسيع ميدان ازF است ، كه آن را با

F(M): F

نشان مي دهيم .

در حالت خاص ، اگر M={a1,…,an} ، آنگاه توسيع

F(a1,…,an):F

را يك توسيع متناهياً توليد شده گوييم به ويژه اگر M={a} مجموعه اي تك عضوي باشد ، آنگاه

F(a):F

را يك توسيع ساده نامند . توسيعهاي ساده از اهميت خاصي برخوردارند و خواص جالب توجهي دارند . به عنوان مثال اگر  عنصري جبري روي F باشد ، آنگاه درجه توسيع F(a):F كه همان بعد فضاي برداري F(a) روي F است ، برابر با درجه چند جمله اي كمين a رويF مي باشد ، يعني

[F( ):F]=dega f(x)

كه f(x) چند جمله اي كمين  روي F است .

در اين مقاله كوتاه سعي شده است ، بعضي از توسيعهايي كه به نظر ساده نمي آيند . نشان دهيم كه در واقع ساده هستند .

 

2- توسيع ساده

يكي از تمرين هايي كه معمولاً در درس جبر 2 دوره كارشناسي رياضي مورد بحث قرار مي گيرد ، آن است كه توسيع يك توسيع ساده است . در واقع به آساني مي توان نشان داد كه

سؤال مورد بحث ما در اين مقاله اين است كه آيا مي توان مطلب فوق را با اضافه كردن چند راديكال به ميدان  اثبات نمود ؟ اين سؤال در مقاله اي كه توسط دكتر رجب زاده مقدم] 1[در همين شماره مطرح شده است ، كه جواب مثبت آن را در قضيه زير ارائه خواهيم كرد .

قضيه : فرض كنيد  ميدان اعداد گويا باشد . در اين صورت به ازاي هر عدد طبيعي an,…a2,a1 كه مربع كامل نباشند ،

 

 

به عبارت ديگر توسيع

يك توسيع ساده است .

اثبات به وضوح ديده مي شود كه

 

لذا بايستي ثابت كنيم

 

 

به روش استقراء روي n عمل مي كنيم ، حكم به ازاي n=2 برقرار است (چرا؟) . حال فرض كنيد كه حكم به ازاي n-1 برقرار باشد ، يعني

 

 

نشان مي دهيم

 

 

قرار دهيد   ، با استفاده از فرض استقرار داريم :

 

 

از جمع روابط بالا نتيجه مي شود كه

(1)   

 

از طرف ديگر

(2)       

 

اكنون  از دو رابطه (1) و (2) حذف مي كنيم . از اين رو خواهيم داشت

 

 

اما  از اين رو به آساني ملاحظه مي شود كه

 بنابراين

 

 

در نتيجه

 

و حكم برقرار است .

 

 

فرادرس

درباره ی روح الله وکیل زاده

همچنین ببینید

از چه سایتی خرید کنم +فیلم

با سلام به دوستان امروز می پردازم که از چه سایت های خرید کنیم و …


پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

*

code

قالب وردپرس
برای دریافت فایل ایمیل خود را وارد کنید .
Your Information will never be shared with any third party.
سلام دوست عزیز کد تخفیف را یاداشت کنید برای خرید خود